Théorème sur les famille génératrice

Soit \((u_{1},...,u_{m})\) est une base de \(F\subset E\)
Alors $$\forall v\in F\quad \exists! \lambda_1,...\lambda_m\in\Bbb R $$
$$\text{tel que :}$$
$$v={{\lambda_1u_1+....+\lambda_mu_m}}$$
\(\longrightarrow\) Preuve:
$$F=vect(u_a,....,u_m)$$
Donc $$\forall v\in F$$
$$\exists \lambda_1,....,\lambda_m\begin{cases}v=\lambda_1v_1+....+\lambda_mv_m\\ v=\lambda'_1v_1+....+\lambda'_mu_m\end{cases}$$
$$O_E\longrightarrow\lambda_i'=\lambda_i=0$$
Exemple:
$$\Bbb R^n=\begin{cases}\begin{pmatrix}a_1\\ ..\\ ..\\ a_n\end{pmatrix}a_i\in \Bbb R\end{cases}$$
$$=a_1e_1+....a_ne_n$$
$$\text{Les vecteurs } e_n \text{ forment une base de } \Bbb R^n$$

Proposition:

\((\vec u_1,\vec u_2)\) est une base de \(\Bbb R^2\) si \(\operatorname{det}(\vec u_1, \vec u_2)\neq 0\)
\(\iff\) non-colinéaires
\(\longrightarrow\) Preuve:
Il faut montrer que \(\forall \vec v (c,d)\in \Bbb R^2\)
$$\exists !x_1,x_2\in \Bbb R \text{ tel que }x_1\vec u_1+x_2\vec u_2=\vec v$$
$$\begin{cases}a_1x_1+a_2x_2=c\\ b_1x_1+b_2x_2=d\end{cases}$$
$$\text{Cela est vraie si et seulement si } \operatorname{det}(\vec u_1, \vec u_2)\neq 0 $$

Proposition:

Soit \(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3\in\Bbb R^3\) forment une base de \(\Bbb R^3\) si et seulement si $$\operatorname{det} (\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3)\neq 0$$
\(\iff\) Non-coplanaires